1. 甲先输光的概率

1.1 鞅的构造.

令 $V_n = \pqty{\dfrac{q}{p}}^{X_n}$, 由条件, $0 < \dfrac{q}{p} < 1$, 从而

1.1.1 绝对期望

1.1.2 条件期望

因此 $\Bqty{V_n, n \ge 0}$ 关于 $\Bqty{Y_n, n \ge 0}$ 是鞅.

1.2 应用定理 4.3.2 (停时定理).

1.2.1 由本证明的 1.2.1, $ET < \infty$.

1.2.2 证明绝对期望有限.

由 $a \le X_n \le b, 0 < \dfrac{p}{q} < 1$ 知,

从而

1.2.3 证明停时定理第三个条件.

从而

1.2.4 于是由定理 4.3.2 得

1.3 另一方面,

联立解得

2. 任何一方输光的平均时间.

2.1 鞅的构造.

注意到 $EY_n = p - q = \mu$, 令 $U_n = X_n - n \mu$, 于是由 4.1.2 例 1 或例 3 易知 $\Bqty{U_n, n \ge 0}$ 关于 $\Bqty{Y_n, n \ge 0}$ 是鞅.

2.2 应用定理 4.3.1 的推论, 求 $U_T$ 和 $X_T$ 的期望.

2.2.1 类似情况 1, 由第三章习题知 $ET < \infty$.

2.2.2 差分条件期望

2.2.3 由定理 4.3.1 的推论, 在 $ET < \infty$ 的条件下, $EU_T = EU_0$, 从而

2.3 另一方面,

代入 1.5 中的结果, 联立解得

证毕.